مقاله مدلسازی سیستم گردش خون در شریانها با استفاده از متد المان محدود با word دارای 57 صفحه می باشد و دارای تنظیمات در microsoft word می باشد و آماده پرینت یا چاپ است

فایل ورد مقاله مدلسازی سیستم گردش خون در شریانها با استفاده از متد المان محدود با word  کاملا فرمت بندی و تنظیم شده در استاندارد دانشگاه  و مراکز دولتی می باشد.

این پروژه توسط مرکز مرکز پروژه های دانشجویی آماده و تنظیم شده است

توجه : در صورت  مشاهده  بهم ریختگی احتمالی در متون زیر ،دلیل ان کپی کردن این مطالب از داخل فایل ورد می باشد و در فایل اصلی مقاله مدلسازی سیستم گردش خون در شریانها با استفاده از متد المان محدود با word،به هیچ وجه بهم ریختگی وجود ندارد

بخشی از متن مقاله مدلسازی سیستم گردش خون در شریانها با استفاده از متد المان محدود با word :

چکیده :
هدف این تحقیق شبیه سازی رفتار سیستم گردش خون طوری که بتواند جنبه های کلی این رفتار و به ویژه رفتار درخت شریانی را بازگو کند، می باشد.. به طور کلی شبیه سازی هر پدیده واقعی در صورتیکه به صورت مطلوبی انجام گیرد می تواند در شناخت بررسی و تحلیل آن ابزار اصلی باشد. امروزه علم شبیه‌سازی را در شاخه های مختلفی می تواند دید و علم مهندسی پزشکی دارای ابزارهای شبیه سازی پدیده‌های زیستی در بدن آدمی می باشد.

سیستم قلب و عروق یکی از زمینه هایی است که از دیرباز توجه بسیاری از محققین به بررسی و شناخت رفتار آن معطوف بوده است و از آنجا که این سیستم به صورت تعاملی از اعضای تشکیل دهنده اش عمل می کند، بررسی آن به صورت سیستمی از اعضایش کارآمدتر واقع می شود. از این رو است که در تاریخچه تحقیق انجام شده در این موضوع می توان ردپای ایده «دیدگاه سیستمی» را مشاهده کرد ولی پیچیدگی مکانیکی رفتار آن مانعی در این راه بوده و جهت غلبه بر این مانع دیدگاههایی که آن را به صورت مدارهای الکتریکی یا اجزای لامپ شده در نظر گرفته اند، وارد عمل شده اند. ظهور روشهای عددی در علم مکانیک ابزار دیگری را در این باب در اختیار محققین قرار داد. یکی از این روشها، روش اجزای محدود است که در این تحقیق نیز مورد استفاده قرار می گیرد.

با داشتن ابزاری که بتواند رفتار سیستم گردش خون را مدل کند، می تواند تاثیر بیماریها بر رفتار آن را مدل کرد و از این راه دید روشنی از تاثیرات آنها بر روی سیستم داشته و راهکار مناسبی در جهت درمان در پیش گرفت. از نظر اهداف آموزشی، می تواند با کمک تجهیزات و لینک کردن این تجهیزات با ابزار موجود جهت شبیه سازی، عملا نمونه شبه زنده ای از این سیستم را ارایه نمود. از نظر اهداف پیش بینی کننده، چنین ابزاری می تواند برای پیش بینی اتفاقاتی که هنگام برخی اعمال جراحی مانند عمل بای پس در جراحی قلب و یا در برخی اعمال جراحی رگهای مغز، در تغییر فشار و جریان خون، رخ می دهند، مورد استفاده قرار گیرد.

مروری بر کارهای پیشین

در طی سه دهه گذشته مطالعات متعددی برای آنالیز جریان خون در شریانهای تکی و انشعابی صورت گرفته باید به مطالعه womersly در سال 1955 Atabekو Lew 1966 Cox در 1968 و Rubinow وKeller 1976، Bauer و Buses در 1975، Schwerdt و Constantinescu در 1976Bauerدر 1985 ، Holestein در سال 1984-1980 وGiddens در سال 1983 Sekhon , در 1985 در این زمینه به تحقیق پرداخته اند.و به عنوان نتیجه نگرش ارزشمندی در ارتباط با تاثیر پارامترهای مختلف مانند ویسکوزیته خون و الاستیسیته رگهای خونی و هندسه ورودی، میدان مغناطیسی و تنگ شدگی یا گرفتگی حاصل شده است و در این باره بحث شده است
این چنین مطالعاتی از نظر کاربردهای عملی به دلیل اینکه سیستم شریانی واقعی انسان از تعداد زیادی اتصالات رگها با طولهای مختلف و مقاطع مختلف تشکیل شده محدود شده است بنابراین نمی توان به عنوان یک رگ تنها با آن برخورد کرد.
مکدونا لد در سال 1974 از مدل ویندکسل برای تعیین برون دهی قلبی با فرض سرعت موج پالسی نامحدود استفاده کرده است و فیلر در سال 1964 و 1966 گردش کوچک سگ به عنوان یک مسیر چهارتایی که هر کدام به عنوان یک تیوپ هم جنس با دیواره نازک که ایده ال می باشند مدل کرده است. در سال (1965 و 1966) یک مدل را برای رگهای سیستمیک از سگ شامل 41 بلوک 4 مسیره که هر کدام از تیوبهای هم جنس با دیواره نازک می باشد پیشنهاد داده است. مدلی که به وسیله تیلور در سال 1966 پیشنهاد داده است شامل یک درخت که شاخه هایش دارای طولی با توزیع رندوم بوده و قطر داخلی لوله مرتبط بصورت بخش به بخش به درخت شریانی واقعی نمیباشد.

نوردرگراف (در سال 1956 تا 1963) یک مدل شبه الکتریکی از درخت شریانی سیستمیک که شامل 113 RLC می باشد پیشنهاد داده است.
وسترهوف و نوردرگراف در سال 1968 مدل الکتریکی را به صورت اشتراکی با چندین بهینه سازی که از 113 تا 123 تعداد سگمنت ها را افزایش دادندارائه دادند.

(1980) Avolio یک مدل پیچیده ای که شامل 128 شاخه بود فرموله کرد. او از مقایسه الکتریکی برای آنالیز تاثیرهای امواج منتشر شده تحت شرایط جریان ضرباندار استفاده کرد.
اثر متقابل واقعی از حرکت به سمت جلو و انعکاس موجها همانطور که توسط شیرازی در سال 1972 مشاهده شده بود در نظر گرفته نشده بود.

مقدمه:
قابل توجیه است که در مدلسازی از مدلهای ریاضی بیولوژیکی واقعی استفاده شود که تا حد ممکن نزدیک به ساختار پیچیده سیستم قلبی و عروقی انسان شبیه سازی می شود کارهای ارائه شده در چنین مدلهایی خیلی نادر هستند. به این دلیل که بتوانند در زمان واقعی یک تعداد زیادی از معادلات را در ارتباط با حل سیستم‌های پیچیده به صورت همزمان انجام دهند
محدودیت گفته شده امروزه تا حد زیادی از بین رفته و با کامپیوترهای مدرن امروزی تعدادی از مدلهای تقریبی برای آنالیز جریان و خون برای سیستم قلبی و عروقی در پستانداران استفاده شده است. در این کار از روش ایستای مدل المان محدود [FEM] برای مدلسازی جریان ایستا خون از طریق سیستم شریانی انسان با بحث کردن در رگهای انفرادی به صورت یک تیوپ الاستیک در نظر گرفته شده است و اثرات ورودی صرفنظر شدهاس و خون به عنوان یک مایع ویسکوز نیوتنی فرض شده است.در واقع ارزش و اهمیت کاربردی و تحقیقاتی که هدف انجام این تحقیق بوده به اندازه ای است که تحقیقات و پایان نامه های زیادی از دیرباز تا کنون به آن پرداخته شده است.

همانگونه که در قسمت قبل گفته شد، از دیرباز تحقیقات متعددی در جهت بررسی و مطالعه رفتار این سیستم، حلهای تحلیلی معادلات حاکم بر رفتار آن غیر ممکن بوده و به همین دلیل در گذشته یا از دیدگاه لامپ کردن اجزاء این سیستم و یا مدلسازی آنها توسط مدارهای الکتریکی استفاده شده است.
مدل ویندکسل اساس تحلیلهای مبتنی بر لامپ کردن می باشد. در این مدل سیستم عروقی به صورت یک محفظه الاستیک در نظر گرفته شده و فشار خروجی صفر در نظر گرفته می شود. با این فرضیات می توان رابطه دبی ورودی، فشار ورودی و دبی خروجی را به سادگی به

دست ‌آورد. همچنین مدلهایی با توسعه دادن مدل ویندکسل ساخته شده است.
در مدلهای الکتریکی از تشابه معادلات حاکم بر جریان خون و معادلات حاکم بر جریان در خطوط انتقال جریان الکتریسیته استفاده می کنند.
دیدگاه لامپ کردن و مدل کردن الکتریکی اجزای سیستم قلب و عروق به دلیل از بین بردن ماهیت سیستم نمی توانند رفتار آن را به صورت واقعی توصیف کنند چرا که مدلسازیی با ساده سازیهای غیر قابل اجتناب همراه است که با واقعیت رفتار سیستم قلب و عروق همخوانی ندارند.
با ظهور روشهای عددی در مکانیک سیالات، محققین این ابزارها را برای بررسی رفتار سیستم عروقی بکار برده اند. روش تفاضل محدود رینز و همکارانش (1974) و روش المان محدود پورنتا و همکارانش (1986)، از جمله این ابزار می باشند. این روشها بر پایه تخمینهای مکانی و زمانی معادلات بنیادی حاکم بر جریان خون بوده و از این نظر قادرند با حفظ ماهیت سیستم (بر خلاف دو دیدگاه پیشگفته قبلی) به بررسی آن بپردازند. با این حال محدودیت های سخت افزاری یعنی محدودیتهای موجود در توانایی رایانه ها ضعف ذاتی این روشهاست. جهت غلبه بر این ضعف

معادلات بنیادی ساده سازی می شوند و این ساده سازی از طریق مدل کردن سیستم با فرضیاتی درباره خصوصیات آن صورت می گیرد. اینجاست که خطای مدلسازی که می تواند یک روش محاسباتی را با مشکل جدی روبرو کند وارد کار می شود.
آنچه تحقیق انجام شده را از تحقیقات گذشته متمایز می کنددر این است که:
1- تاثیر غیر نیوتنی بودن خون در مدلسازی شبکه های شریانی را بررسی می کند.

2- مطالعاتی که در گذشته انجام گرفته اند اغلب شریانهای یک اندام خاص و یا کل بدن را مدلسازی کرده اند حال آنکه در اِین تحقیق می توان هر شبکه دلخواه از شریانها را توسط این روش مدل کرد.ودر شبیه سازی شریانهای یک اندام، چند اندام و یا کل بدن بکار رود.

روش مدلسازی:
به دلیل پیچیدگیهای موجود در پدیده ها و سیستم های واقعی، بررسی آنها به طور مستقیم ممکن نبوده و لازم است آنها را از فیلتر مدلسازی عبور داد. اولین مرحله مدلسازی، مدلسازی فیزیکی است که در آن از پاره ای از خصوصیات فیزیکی پدیده مورد بررسی صرف نظر شده و مشخصات بارزی از سیستم که مورد بررسی هستندبه طوری که به زبان ریاضی قابل بیان باشند، مدل می شوند. در مرحله بعد رفتار مدل حاصل توسط روابط ریاضی بیان می شود که مدلسازی ریاضی نامیده می شود.
سیستم قلب و عروق از دیدگاه مهندسی با چنان پیچیدگیهایی همراه است که بررسی آن به طور مستقیم غیرممکن بوده و مدلسازی آن ضروری می باشد. در مرحله مدلسازی فیزیکی، با توجه به اینکه هدف ما بررسی رفتار جریان خون در شریانها می باشد، از اجزایی مانند قلب، مویرگها و گره های لنفاوی صرف نظر شده تنها شریانها مورد توجه قرار می گیرند.

از سویی به دلیل وجود تعداد زیادی شریان در بدن و به دلیل عدم وجود اطلاعات کافی از جزئیات خواص و رفتار مکانیکی آنها و به ویژه نقش عمده ای که شریانهای اصلی در وظیفه خونرسانی دارند تنها این شریانها مورد توجه قرار می گیرند. با این دیدگاه، مجموعه ای از شریانهای الاستیک ایده آل متصل به هم با عنوان درخت شریانی حاصل می شود. چنین مدلی در بسیاری از مراجع به عنوان مدلی قابل قبول از سیستم شریانی کل بدن پذیرفته شده و مورد استفاده قرار گرفته است. چنانچه بررسی شریان خاصی از بدن مورد نظر باشد می تواند مدلسازی مشابهی را در مورد آن اعمال نمود. در ادامه نمونه ای از این مدلها که در مورد شریان فمورال و انشعابهای آن صورت گرفته ارایه می شود.
هرچند فرض شریان الاستیک ایده آل در نوع خود بسیار دور از واقعیت است. لیکن

جهت مدلسازی ریاضی لازم است فرضیات ساده کننده دیگری در مورد رفتار جامداتی آن و رفتار سیالاتی خون اتخاذ نمود. از این رو فرض می شود رفتار حالت دیواره شریان در مقابل فشار خون مشخص است و خون به صورت یک سیال عمل می کند.
در درخت شریانی کل بدن. جزییات درباره شماره شریانها که در ادامه آورده شده است.در این بحث به بررسی فیزیک جریان خون داخل شریان انشعابها پرداخته می شود.

شکل (1): انشعابها درشریانها بالا نشان داده شده است .

معادلات حاکم بر جریان خون در یک درخت شریانی:
همانگونه که در بحث قبلی اشاره شد جریان خون در شریانها از دو دیدگاه جامداتی و سیالاتی قابل بررسی است. بحث جامداتی به بررسی رفتار دیواره شریان در تعامل با فشار و سرعت خون می پردازد و بحث سیالاتی به رفتار حاکم بر ماهیت و جریان خون و تعامل این رفتار با رفتار جامداتی شریان.

پیچیدگیهای حاکم بر تعامل واقعی جریان خون و رفتار دیواره شریان آنچنان بالاست که اتخاذ فرضهای ساده کننده ای در مورد خصوصیات و رفتار مکانیکی و رفتار سیالاتی خون را ناگزیر می نماید. این فرضیات ساده کننده، بسته به هدف مطالعه اختیار می شوند.
از جمله روشهای بررسی شده در مقالات مختلف معادلات پیوستگی و بقای مومنتوم می باشد.

معادلات حاکم بر پیوستگی و بقای مومنتوم
در این بخش به بررسی معادلات حاکم بر جریان خون می پردازیم که از این به عنوان روش مناسب برای شبیه سازی فشار و سرعت جریان که زمان محاسبه و دقت نتایج در مقایسه با امکانات سخت افزاری موجود در اماکن درمانی و آموزشی قابل قبول باشد اشاره شده است. به این دلیل جریان خون داخل شریان به صورت یک بعدی در نظر گرفته می شود. به این ترتیب از مولفه های سرعت در دو راستای عمود بر محور شریان صرف نظر می گردد. از طرفی با توجه به میزان تغییرات فشار سیستم گردش خون می توان خون را یک سیال تراکم ناپذیر در نظر گرفت. با این فرضیات رابطه های پیوستگی و مومنتوم حاکم بر جریان خون در یک شریان به صورت زیر حاصل می شوند.
(1)

(2)
در این روابط، A سطح مقطع عرضی شریان، V سرعت خون در راستی محوری، P فشار خون، چگالی خون، نیروی برشی بر روی دیواره به ازای واحد طول آن x مختصات محوری و t زمان می باشند.. برای مشخص شدن رفتار دینامیکی خون، لازم است روابط A و بر حسب فشار و سرعت مشخص باشند. در بخشهای بعدی درباره این دو کمیت صحبت می شود.

معادلات حاکم بر انشعابها
در سیستم گردش خون (مدل نشان داده شده در شکل (1) انشعابهای دو یا چندگانه به چشم می خورد به دلیل مدلسازی یک بعدی جریان خون، معادلات (1) و (2) در این انشعابها صادق نیست. برخی از مراجع که به بررسی این انشعابان پرداخته اند اقدام به مدلسازی سه بعدی جریان خون با استفاده از معادلات ناویر- استوکس نموده اند که کاربردی برای مدلسازی یک بعدی ندارد.
لذا برای بیان معادلاتی در انشعابها که با فرض یک بعدی بودن جریان خون و در نتیجه معادلات (1) و (2) سازگار باشند، اتخاذ فرضهایی درباره رابطه فشارها و دبیها در شاخه های مادر و دختر، (شکل2) ضروری است.

شکل2: شکل شماتیک یک انشعاب. شاخه های مادر و دختر در این شکل مشخص شده اند.

بر اساس رابطه پیوستگی لازم است دبی خروجی شاخه مادر با مجموع دبی های ورودی به شاخه های دختر مساوی باشد. به عبارت دیگر:
(3)
در این رابطه Vp , Ap به ترتیب سطح مقطع و سرعت در خروجی شاخه مادر، Vd , Ad به ترتیب سطح مقطع و سرعت در ورودی شاخه دختر و n تعداد شاخه های دختر می باشد.
همچنین باید رابطه ای بین فشار در گره خروجی شاخه مادر و گره ورودی شاخه های دختر بیان کرد. از آنجا که سرعت بین گره خروجی شاخه مادر و گره ورودی شاخه های دختر تغییر می کند، طبق رابطه برنولی، فشار این گرهها نیز متفاوت است ولی چون فشار دینامیکی خون بخش

کوچکی از فشار ناپایای خون را تشکیل می دهد می توان از این تغییرات در محل انشعاب صرف نظر کرده و فشار در گره خروجی شاخه مادر و گرههای ورودی شاخه های دختر را یکی گرفت. با توجه به اینکه به عنوان نمونه حداکثر سرعت خون در آئورت بالا رونده و در محدوده سرعت 71-143 m/s می باشد و از سوی حداقل فشارخون 8000Pa است، در نتیجه تغییرات فشار دینامیکی در مقایسه با فشار ناپایا قابل چشم پوشی است. بنابراین:
(4)
که P معرف فشار و زیرنویسهای d , P به ترتیب معرف شاخه مادر و شاخه های دختر و I معرف شماره شاخه دختر می باشد.
معادلات (1)، (2)، (2) و (2) معادلات اصلی مورد استفاده در تحلیل یک مدل شریانی فاقد گرفتگی می باشند.

رابطه بین فشار خون و سطح مقطع شریان
در واقع دیواره شریان به صورت یک جسم ویسکو الاستیک رفتار می کند، یعنی رفتاری مخلوط از سیال و جامد دارد. در شریانهای بزرگ (که مورد نظر ما هستند)، در محدوده فشار و دبی فیزیولوژیک، ویسکوالکتریسیته قابل صرف نظر بوده، یک مدل ویسکوالاستیک برای شریانهای کوچک، در نزدیکی مویرگهای (شریانهای ماهیچه ای) مناسب است. از این رو در این جا فرض ساده کننده دیگری اتخاذ شده و شریان به صورت یک جسم الاستیک در نظر گرفته می شود. با این فرض روابط متعددی در مراجع جهت بیان ارتباط تغیر سطح مقطع شریان در مقابل فشار خون، که از آن با عنوان معادله حالت اسم برده می شود، پیشنهاد گردیده است در ادامه به چند مورد از این روابط اشاره می کنیم.

مدل تحلیلی رابطه فشار- سطح مقطع
این مدل با فرض کردن شریان به صورت یک استوانه با قطر یکنواخت، جدار نازک و دارای ماده الاستیک خطی ایزوتوپ با استفاده از تئوری الاستیسیته، معادله حالت را به صورت زیر بیان می‌کند.
(5)
که در این رابطه تغییر شعاع شریان در پاسخ به تغییر فشار خون، P تغییر فشار خون، R0 شعاع اولیه شریان، v ضریب پواسون، E مدول الاستیک و h ضخامت شریان می باشند.

مدل استریتر
استریتر و همکارانش از رابطه زیر برای بیان معادله حالت استفاده کرده اند:
(6)
در این رابطه P فشار خون، P0 فشار اولیه خون، A(P0.x) سطح مقطع، d0 قطر اولیه، h0 ضخامت اولیه و E مدول یانگ شریان می باشند. در واقع این معادله فرم ساده شده ای از مدل تحلیلی با حذف ضریب پواسون می باشد.

مدل رینز:
رینز و همکارانش رابطه زیر را به عنوان معادله حالت پیشنهاد کرده اند:
(7)
که K ضریبی است که به صورت تجربی تعیین شده و بقیه پارامترها مانند مدلهای قبلی می باشند.

مدل اسکالاک:
طبق این مدل که توسط اسکالاک ارایه شد معادله حالت به صورت زیر می باشد.
(8)

که در این رابطه پارامتری است که توسط آزمایشات بر روی رگ تعیین می شود. Ed مطابق رابطه زیر، الاستیسیته قطری رگ است:
(9)
بر اساس آزمابشات انجام گرفته، را می توان با دقت خوبی از رابطه زیر تقریب زد:
(10)
بقیه متغیرهای به کار رفته در این معادلات در معادله (6) تعریف شده اند.
مدلهای مشابه دیگری در مراجع پیشنهاد شده است که این بحث مجال پرداختن به آنها نیست

معادله حالت کلی:
رابطه حالت به صورت زیر مورد استفاده قرار گرفته است که سری تیلور سطح مقطع- فشار، حول فشار اولیه P0 با حفظ جملات تا مرتبه 2 می باشد:
(11)
بدین ترتیب ضمن ساده کردن عملیاتهای محاسباتی، می توان با انتخاب مناسب ضرایب C1 , C0 بسیاری از معادلات حالت پیشنهاد شده در مراجع را به خوبی تخمین زد. شکل (3) برگرفته از مرجع، رابطه تخمین زده شده استریتر، رابطه رینز و رابطه تخمین زده شده رینز را مقایسه می کند.

شکل3 مقایسه معادلات حالت ارتباط سطح مقطع- فشار. خط ممتد معرف رابطه تخمین زده شده استریتر، منحنی خط- نقطه رابطه رینز، (7) با P0=13.3Pa و K=0.1174 و منحنی خط بریده رابطه تخمین زده شده رینز می باشند.

همان طور که در این شکل دیده می شود، در فشارهای عملی مورد نظر، تخمینهای انجام شده توسط معادله (11)، از دقت قابل قبول برخوردار است. تفاوت نسبت به دست آمده از روابط آورده شده در این شکل، کمتر از 4% می باشد.
با داشتن معادله حالت، توسط سری تیلور، ضرایب C1 , C0 به دست می آیند.
سری تیلور تابع f(x)، حول نقطه a با حفظ جملات تا مرتبه دوم به صورت زیر نوشته می شود.

(12)
که f// , f/ به ترتیب مشتق اول و دوم f نسبت به x در نقطه x=a می باشند. با توجه به رابطه بالا، ضرایب C1 , C0 به ترتیب عبارتند از:

(13)
(14)
روابط ریاضی استخراج این ضرایب برای مدل تحلیلی در ضمیمه «د» آمده است. برای این مدل داریم:
(15)

با عملیاتهای مشابه برای مدل استریتر داریم:
(16)
و برای مدل اسکالاک:
(17)

معادله حالت خون:
همانگونه که قبلا گفته شد، برای تکمیل روابط (1) و (2)، لازم است تنش برشی به صورت تابعی از سرعت و فشار مشخص شود، بدین منظور باید معادله ارتباط دهنده تنش برشی خون و سرعت آن معلوم باشد.
1-در نرخ برشهای پایین، ویسکوزیته ظاهری به مقدار چشمگیری افزایش می یابد طوری که گاهی دارای «تنش تسلیم» است.
2-در نرخهای برش بالا ویسکوزیته ظاهری کوچکتر از آنچه در نرخهای برش پایین است، می‌باشد. از این دو رفتار به تاثیرات «برش پایین» و «برش بالا» یاد می شود.
خون یک سیال غیر نیوتنی ویسکوالاستیک می باشد. صرف نظر از خصلت ویسکوالاستیک خون، به عنوان یک فرض قابل قبول در بسیاری از مراجع پذیرفته شده است. صحت این فرض وقتی روشن می شود که در می یابیم در شریانهای با قطر بزرگ که تنش برشی بالاست، خون به صورت نیوتنی عمل می کند. به همین دلیل در این مبحث رفتار ویسکوالاستیک خون صرف نظر گردیده است. از سویی، در مراجع در دسترس ما، روابط حاکمی که برای رفتار غیرنیوتنی خون مطرح شده اند، بر اساس فرض لایه ای بودن جریان خون می‌باشند. بنابراین لایه ای بودن خون، یکی از فرضها در بیان معادلات حالت مورد استفاده می باشد.
در بعضی از مراجع روابط مورد استفاده به عنوان معادله خون به تفضیل مورد بررسی قرار گرفته اند
مدل توانی:
در این مدل رابطه تنش برشی و نرخ برش به صورت زیر بیان می شود:
(19)
که تنش برشی، نرخ برش و یک ضریب بدون بعد می باشند. وقتی n=1، مدل به حالت نیوتنی برمی گردد. مزیت اصلی این مدل سادگی آن می باشد. از معایب آن عدم وجود یک تنش تسلیم برای شروع جریان و بینهایت بودن ویسکوزیته ظاهری در این حالت می باشد.

مدل کیسونی:
طبق این مدل رابطه تنش برشی و نرخ برش به صورت زیر می باشد:
(20)

که تنش برشی، نرخ برش و یک ثابت بی بعد وابسته به هماتوکریت خون (درصد حجمی سلولهای قرمز به کل خون) و تنش تسلیم می باشد.
مدل کیسون نه تنها با نتایج تجربی همخوانی دارد، بلکه در یک محدوده وسیع از نرخهای برش صادق است. محققین کاربرد رابطه کیسون را در محدوده نرخ برش 2 تا 100000 s-1 با کاربرد یک سری از ویسکومترها توضیح داده اند. نتایج نشان داده اند که با کاربرد رابطه کیسون، این امکان وجود دارد که داده‌های ویسکوزیته خون به دست آمده در محدوده های برش 5 تا 200 s-1 تا نرخهای برش 10000 تا 100000 s-1 را با کمتر از 5 درصد خطا، میانیابی کرد.

باید توجه داشت fs در رابطه (2)، نیروی برشی به ازای واحد طول لوله است و در روابط (18) تا (20) تنش برشی است. برای به دست آوردن fs موجود در رابطه (2)، باید مقدار تنش برشی را در دیواره به دست آورده و از رابطه حاصل روی محیط لوله انتگرالگیری کرد.
ترم نیروی برشی به ازای واحد طول، در یک مدل دو یا سه بعدی در جریان خون وارد می شود. ولی در یک مدل یک بعدی، به دلیل صرف نظر از تغییرات سرعت محوری لازم است یک پروفیل سرعت محوری فرض کرد. مبنای این فرض را حل معادله مومنتوم در حالت پایا قرار می دهیم.
معادله مومنتوم برای جریان استوانه ای با شعاع r از سیال داخل یک لوله بدون ترمهای مشتق زمانی و شتاب جابه جایی عبارت است از:
(21)
در این رابطه تنش برشی، r شعاع استوانه سیال و گرادیان محوری فشار می باشند.
برای یک سیال نیوتنی،
(22)
با قرار دادن تنش برشی ا معادله (22) در معادله (21) و انجام انتگرالگیریهای مربوط به دست می‌آوریم:
(23)
با اعمال شرط مرزی صفر بودن سرعت در دیواره، به دست می آوریم:
(24)
در این رابطه R شعاع لوله می باشد.
با انتگرالگیری از رابطه (24) روی سطح مطع لوله، ارتباط و سرعت متوسط به صورت زیر به دست می آید:
(25)

که A سطح مقطع لوله و متوسط محوری می باشند.
اکنون با قرار دادن از معادله (25) در معادله (24) به دست می آوریم:
(26)
بدین ترتیب پروفیل سرعت مطلوب به دست می آید. با استفاده از رابطه (18)، اندازه تنش برشی در دیواره عبارت است از:
(27)
ولی چون نیروی برشی به ازای واحد طول در دیواره مورد نظر است، رابطه فوق را روی محیط لوله ضرب می کنیم:

(28)
به این ترتیب نیروی برشی به ازای واحد طول مورد استفاده در رابطه (2) به دست می آید
برای یک سیال غیرنیوتنی رابطه (21)، برقرار است ولی رابطه (22) را باید با رابطه حالت آن سیال عوض کرد با همان روالی که برای یک سیال نیوتنی طی شد، پروفیل سرعت و نیروی برشی به ازای واحد طول به دست می آیند.
برای یک سیال توانی، پروفیل سرعت به صورت زیر می باشد:
(29)
که n همان n رابطه (19) است. با انجام عملیاتهای مشابه آنچه برای یک سیال نیوتنی گذشت، به دست می آوریم:
(30)
رابطه حاصل را می توان به کمک ارتباط سطح مقطع (و در نتیجه شعاع) با فشار بر حسب سرعت و فشار بیان کرد.
وارد کردن نیروی برشی به ازای واحد ژول به دست آمده از معادله (30)، در رابطه (2)، ما را به انجام محاسباتی با هزینه ای بالا در مقایسه با ارزش فیزیکیشان، وا می دارد. از سویی چون برای یک سیال غیرنیوتنی با معادله حالت متفاوت، این عملیاتهای محاسباتی تفاوت می کنند، عملا امکان استفاده همزمان از چند معادله حالت در تحلیل وجود نخواهد داشت. به این دلیل در این مبحث، ایده سیال شبه خطی استفاده می شود. به این ترتیب که بر اساس معادله حالت سیال، یک ویسکوزیته ظاهری به دست می آید که با ویسکوزیته ظاهری در رابطه (22) معادل است. این نحوه برخورد با خصلت غیرنیوتنی خون، می باشد.
برای تبیین موضوع، فرض کنید معادله حالت یک سیال غیرنیوتنی به صورت زیر باشد:
(31)
چنانچه این رابطه را به صورت زیر بنویسم،
(32)
که در آن

(33)
به فرم شبه خطی معادله حالت (32)، می رسیم. به دست آمده از رابطه (33)، ویسکوزیته ظاهری نامیده می شود. با این تریب می توان از همان روال استخراج معادله (28) ولی با ویسکوزیته ای که از رابطه (33) به دست می آید و پروفیل سرعت مربوط به سیال مورد نظر، استفاده کرد. چون در این حالت ویسکوزیته تابعی از سرعت (حل) است، باید از یک الگوریتم تکراری برای ترم نیروی برشی به ازای واحد طول در معادله (2)، استفاده کرد.
اکنون نحوه استخراج در معادله (33) را برای یک سیال توانی و یک سیال کیسونی توضیح می دهیم.

همانطور که گفتیم برای یک مدل توانی پروفیل سرعت به شکل رابطه (29) می باشد که در زیر مجددا آورده می شود:
(29)
با انتگرالگیری رابطه بالا روی سطح مقطع لوله، سرعت متوسط در لوله را به صورت زیر به دست می‌آوریم:
(34)
با قرار دادن رابطه (35) در رابطه (29) پروفیل سرعت را به صورت زیر به دست می آوریم.
(36)
اکنون می توان نرخ برش در دیواره را به صورت زیر به دست آورد:
(37)
با توجه به معادلات (19)، (33) و (37)، ویسکوزیته ظاهری یک سیال توانی را به صورت زیر به دست می آوریم:
(38-1)
اکنون توجه کنید که اگر توان n-1 را به صورت کسر در نظر بگیریم، در صورتیکه منفی، x فرد و y زوج باشد، چون نمی توان از یک عدد منفی رادیکالی با فرجه زوج گرفت، مدل توانی نمی تواند بکار رود و از این رو فرض می کنیم همواره توان x زوج است. بدین ترتیب رابطه (38-1) به صورت زیر در می‌آید:
(38-2)
توجه شود که طبق رابطه (19) حداقل در دیواره که مورد نظر ماست، x باید زوج باشد زیرا طبق شرط عدم لغزش در دیواره مقدار در این ناحیه منفی است. در نتیجه فرض اتخاذ شده قابل قبول است.
تنش برشی عبارت است از:
(39)
اکنون برای به دست آوردن نیروی برشی به ازای واحد طول، مشابه روال طی شده برای سیال نیوتنی، تنش برشی را در محیط لوله ضرب می کنیم:
(40-1)
مقدار نیروی برشی به ازای واحد طول مورد استفاده در رابطه (2) با ضرب عبارت فوق در یک منفی به صورت زیر به دست می آید:

(40-2)
توجه کنید چنانچه مقدار از رابطه (38-2) ر در رابطه (40-2) قرار دهیم، به رابطه (30) می‌رسیم.
برای یک سیال کیسونی، ویسکوزیته ظاهری به صورت زیر بیان می شود:
(41)
که در این رابطه و با پواز و H=0.37 هماتوکریت خون است. رابطه (41) در مقایسه با رابطه (20)، با وارد کردن هماتوکریت (کسر حجمی سلولهای قرمز خون به کل خون)، دقیق تر می باشد.
با داشتن پروفیل سرعت رابطه (41) کامل می شود. روال به دست آوردن این پروفیل کاملا مشابه سیال نیوتنی است و از بیان آن خودداری می کنیم.
پروفیل سرعت برای مدل کیسونی به صورت زیر می باشد:
(42)
در این رابطه rP شعاع ناحیه مرکزی است که د آن و سرعت سیال ثابت و برابر uP می باشد.شکل (4) نشان دهنده پروفیل سرعت کیسونی می باشد:

شکل 4: پروفیل سرعت جریان کیسونی در یک لوله استوانه ای.

بر اساس رابطه (42) دبی در هر مقطع عرضی برابر است با:
(43)
با استفاده از این رابطه را به صورت زیر می نویسیم:
(44)
که
(45)
اکنون با استفاده از رابطه (42) و برش در دیواره را محاسبه می کنیم. در نهایت با استفاده از رابطه (44) و داریم:

(46)
تنش برشی عبارت است از:

(47)
با توجه به اینکه نیروی برشی به ازای واحد طول، به صورت زیر به دست می آید:
(48)
مقدار نیروی برشی به ازای واحد طول مورد استفاده در رابطه (2)، با ضریب عبارت فوق در یک منفی به دست می آید.

به این ترتیب می توان معادله مومنتوم را به صورت زیر نوشت:

که برای سیال نیوتنی مقدار و برای سیال توانی مقدار و برای سیال کیسونی همان مقدار بدست امده در رابطه 48 می باشد.

بررسی روش انجام شده:
تکنیک المان محدود اساسا به دلیل مستقیم بودن (بر خلاف روش مقایسه الکتریکی) می باشد و از نظر کاربردی تطبیق پذیرتر می باشد. به علاوه این مدل قادر به در نظرگیری شرایط مرزی تعیین شده هست و این به دلیل آن است که در طی دهه های گذشته این تکنیک به صورت یک ابزار قدرتمند برای حل مسائل پیچیده در مسائل علمی مختلف و در حوزه های مهندسی توسعه پیدا کرده است.

فرموله کردن مدل:
سیستم قلبی و عروقی انسان بعد از Avolio در سال 1980 به عنوان یک ترتیبی از مقدار زیادی از شاخه های بهم وصل شده همانطور که در شکل پایین نشان داده شده مدل شده است. شاخه های درخت شریانی در شکل 4 در انتها به صورت اختیاری در یک تعدادی از نقاط که نودهای انتهایی نامیده می شوند به پایان می رسند. تاثیر شریانچه ها و وریدهای کوچک و رگها که به دنبال یک گره انتهایی هستند توسط گره هم به وسیله جریان شبکه (نرخ جریان) یا فشار خون (که توسط تجربیات یا روشهای دیگر در دسترس می باشند) معین می شوند.
عدد کلی گرهها برابر n باشد و تعداد سگمنت های شریانی n-1 است.